Длина суммы векторов вычисляется с использованием различных математических методов в зависимости от условий задачи и известных параметров. Рассмотрим основные способы определения этого значения.
Содержание
Основные методы вычисления
| Метод | Применение |
| Правило треугольника | Для двух векторов с известными длинами и углом между ними |
| Правило параллелограмма | Альтернатива правилу треугольника |
| Координатный метод | Когда известны координаты векторов |
Вычисление через правило треугольника
- Определите длины векторов |a| и |b|
- Найдите угол θ между векторами
- Примените формулу: |a + b| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ)
Пример расчета
- |a| = 3, |b| = 4, θ = 60°
- |a + b| = √(9 + 16 + 2×3×4×0.5) = √37 ≈ 6.08
Координатный метод
| Шаг | Действие |
| 1 | Запишите координаты векторов: a(x₁,y₁), b(x₂,y₂) |
| 2 | Найдите сумму векторов: a + b = (x₁+x₂, y₁+y₂) |
| 3 | Вычислите длину: √((x₁+x₂)² + (y₁+y₂)²) |
Пример для трехмерного пространства
- Вектор a(1, 2, 3)
- Вектор b(4, 5, 6)
- Сумма: (5, 7, 9)
- Длина: √(25 + 49 + 81) = √155 ≈ 12.45
Свойства длины суммы векторов
- Неравенство треугольника: |a + b| ≤ |a| + |b|
- Для перпендикулярных векторов: |a + b| = √(|a|² + |b|²)
- Для коллинеарных векторов: |a + b| = ||a| ± |b||
Важная информация
При работе с противоположно направленными векторами учитывайте, что косинус угла 180° равен -1. Для n-мерных векторов координатный метод остается аналогичным, добавляются соответствующие компоненты по каждому измерению.
